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Mathe · Klasse 7

Zufall und Häufigkeit — einfach erklärt

Die Wahrscheinlichkeit sagt, was zu erwarten ist. Die relative Häufigkeit sagt, was tatsächlich passiert ist. Beides stimmt nie ganz überein.

Zufall und Häufigkeit jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Bei 200 Würfen fiel 31-mal eine Sechs.
Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?

Erste Frage an dich

Was ist die relative Häufigkeit?

Treffer geteilt durch Gesamtzahl
Die Anzahl der Treffer
Gesamtzahl geteilt durch Treffer

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Sie setzt die Treffer ins Verhältnis zur Gesamtzahl.

Zufall und Häufigkeit von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Bei einem Zufallsversuch weiß man vorher nicht, was herauskommt — aber man weiß, was herauskommen kann.

Alle möglichen Ergebnisse zusammen nennt man den Ergebnisraum. Beim Würfel sind das die Zahlen 1 bis 6.

Ein Ereignis ist das, wonach gefragt wird — zum Beispiel „eine gerade Zahl“.

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, rechnest du: günstige geteilt durch alle.

Beim Würfel sind drei der sechs Zahlen gerade, also 3 : 6 = 0,5 oder 50 %.

Diese Regel heißt Laplace-Regel. Sie gilt nur, wenn wirklich alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Die relative Häufigkeit ist etwas anderes: Sie zählt, was beim Ausprobieren tatsächlich passiert ist.

Bei 100 Würfen 14-mal eine Sechs sind 14 : 100 = 14 %. Erwartet hätte man rund 16,7 %.

Je öfter du wirfst, desto näher kommen sich die beiden. Das nennt man das Gesetz der großen Zahlen.

Bei mehreren Versuchen hintereinander werden die Wahrscheinlichkeiten malgenommen: zweimal Sechs ist 1/6 · 1/6 = 1/36.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Zähl alle möglichen Ergebnisse — das ist der Nenner.
  2. Zähl die günstigen Ergebnisse — das ist der Zähler.
  3. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, teile günstige durch alle.
  4. Für Prozent noch mit 100 malnehmen.
  5. Bei mehreren Versuchen hintereinander die Wahrscheinlichkeiten malnehmen, nicht addieren.
  6. Prüf am Ende: Das Ergebnis muss zwischen 0 und 1 liegen (oder zwischen 0 und 100 %).

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: In einer Urne sind 3 blaue und 7 weiße Kugeln. Wie wahrscheinlich ist eine blaue?

  1. Alle Ergebnisse: 3 + 7 = 10
  2. Günstige: 3
  3. 3 : 10 = 0,3

Ergebnis: 30 %

Die häufigsten Fehler

Wahrscheinlichkeiten addiert statt malgenommenZweimal hintereinander eine Sechs ist nicht 1/6 + 1/6, sondern 1/6 · 1/6 — also viel unwahrscheinlicher.
Ein Ergebnis über 1 herausbekommenEine Wahrscheinlichkeit kann nie größer als 1 sein. Kommt mehr heraus, wurden Zähler und Nenner vertauscht.
Vom Würfel erwartet, dass er sich erinnertNach fünf Sechsen ist die sechste genauso wahrscheinlich wie vorher. Der Würfel weiß nichts von den letzten Würfen.
Relative Häufigkeit mit Wahrscheinlichkeit gleichgesetztBei 60 Würfen kommen selten genau 10 Sechsen. Erst bei sehr vielen Versuchen nähern sich die beiden an.

Wahrscheinlichkeiten beim Würfel

EreignisGünstigeWahrscheinlichkeit
eine 61 von 616,7 %
eine gerade Zahl3 von 650 %
eine Zahl größer als 42 von 633,3 %
eine Primzahl (2, 3, 5)3 von 650 %
keine 65 von 683,3 %
zweimal hintereinander eine 61 von 362,8 %
mindestens einmal 6 bei 2 Würfen11 von 3630,6 %

Die letzten beiden Zeilen sind zwei verschiedene Fragen — sie werden am häufigsten verwechselt.

Zum Ansehen

1 2 3 4 5 6 Ereignis: eine gerade Zahl 3 günstige von 6 möglichen 3 : 6 = 0,5 = 50 %

Wörter, die man kennen muss

ErgebnisraumAlle möglichen Ergebnisse eines Versuchs.
EreignisDas, wonach gefragt wird — oft mehrere Ergebnisse zusammen.
Laplace-RegelGünstige geteilt durch alle, wenn alle gleich wahrscheinlich sind.
Relative HäufigkeitTreffer geteilt durch Versuche — gemessen, nicht gerechnet.
GegenereignisAlles, was nicht das Ereignis ist. Beide zusammen ergeben 1.

Das Wichtigste in Kürze

  • Wahrscheinlichkeit = günstige : alle (bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen).
  • Relative Häufigkeit = Treffer : Versuche.
  • Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1.
  • Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen 1.
  • Mehrere Versuche hintereinander: malnehmen.
  • Je mehr Versuche, desto näher liegt die Häufigkeit an der Wahrscheinlichkeit.

Viele Versuche, wenig Zufall — zum Ausprobieren

Schieb die Zahl der Versuche hoch und sieh, wie sich die Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit nähert.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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