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Mathe · Klasse 7

Wahrscheinlichkeit — einfach erklärt

Wahrscheinlichkeit sagt, welcher Anteil aller möglichen Fälle günstig ausgeht — nicht mehr und nicht weniger.

Wahrscheinlichkeit jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

In einem Beutel liegen 6 rote, 9 blaue und 5 grüne Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Rot in Prozent?

Erste Frage an dich

Wie viele Kugeln sind insgesamt im Beutel?

20
6
14

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Alle Farben zusammenzählen.

Wahrscheinlichkeit von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Wenn alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, ist die Rechnung einfach: günstige Fälle geteilt durch mögliche Fälle.

Beispiel Würfel: Für eine Sechs gibt es einen günstigen Fall und sechs mögliche. Also 1 : 6, das sind rund 16,7 %.

Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1, also zwischen 0 % und 100 %.

0 heißt: passiert nie. 1 heißt: passiert sicher. Kommt bei dir etwas über 1 heraus, hast du vertauscht.

Sehr nützlich ist die Gegenwahrscheinlichkeit. Etwas passiert oder es passiert nicht — zusammen immer 100 %.

Statt „mindestens eine Sechs bei drei Würfen“ mühsam auszurechnen, rechnet man deshalb oft „keine Sechs“ und zieht das Ergebnis von 100 % ab.

Aus der Wahrscheinlichkeit bekommst du die erwartete Anzahl: Versuche mal Wahrscheinlichkeit.

Bei 60 Würfen und einer Wahrscheinlichkeit von 1 : 6 erwartest du also 10 Sechsen.

Wichtig: Erwartet heißt nicht garantiert. Es können auch 7 oder 14 werden. Je öfter du würfelst, desto näher kommst du dem Wert.

Ein Würfel hat kein Gedächtnis. Nach fünf Sechsen ist die sechste genauso wahrscheinlich wie vorher.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Zähl alle möglichen Ausgänge.
  2. Zähl die günstigen — die, die du haben willst.
  3. Teile günstige durch mögliche.
  4. Für Prozent mit 100 malnehmen.
  5. Prüf: Das Ergebnis muss zwischen 0 und 1 beziehungsweise 0 % und 100 % liegen.
  6. Für „mindestens einmal“ lohnt sich oft der Umweg über die Gegenwahrscheinlichkeit.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Im Beutel sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Wie groß ist P(rot)?

  1. Günstig: 3 rote
  2. Möglich: 3 + 7 = 10
  3. 3 : 10 = 0,3
  4. mal 100

Ergebnis: 30 % — und für nicht rot 70 %

Die häufigsten Fehler

Günstige und mögliche vertauschtKommt ein Wert über 1 heraus, ist der Bruch verkehrt herum.
Die günstigen bei den möglichen vergessenBei 3 roten und 7 blauen Kugeln sind es 10 mögliche, nicht 7.
Auf vergangene Ergebnisse geschlossenNach fünf Sechsen ist die sechste genauso wahrscheinlich wie vorher. Ein Würfel hat kein Gedächtnis.
Erwartungswert für eine Garantie gehalten10 erwartete Sechsen bei 60 Würfen heißt nicht, dass es genau 10 werden.

Wahrscheinlichkeiten beim Würfel

EreignisGünstigBruchIn Prozent
eine bestimmte Zahl11/616,7 %
eine gerade Zahl33/6 = 1/250 %
größer als 422/6 = 1/333,3 %
keine Sechs55/683,3 %
eine Zahl von 1 bis 666/6 = 1100 %
eine Sieben00/6 = 00 %

Immer sechs mögliche Fälle — nur die Zahl der günstigen ändert sich. Die letzten beiden Zeilen zeigen die Grenzen: sicher und unmöglich.

Zum Ansehen

00,250,5 0,751 0 %50 %100 % unmöglich so wahrscheinlich wie nicht sicher P(rot) = 30 % · P(nicht rot) = 70 % Zusammen immer 100 %

Wörter, die man kennen muss

Günstige FälleDie Ausgänge, die man haben möchte.
Mögliche FälleAlle Ausgänge zusammen.
Laplace-VersuchEin Versuch, bei dem alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.
GegenwahrscheinlichkeitDie Wahrscheinlichkeit, dass es gerade nicht eintritt.
ErwartungswertWie oft man das Ereignis auf lange Sicht erwartet.

Das Wichtigste in Kürze

  • P = günstige Fälle : mögliche Fälle
  • In Prozent: das Ergebnis mal 100.
  • P liegt immer zwischen 0 und 1 (0 % und 100 %).
  • Gegenwahrscheinlichkeit: P(nicht A) = 1 − P(A), in Prozent 100 % − P(A)
  • Erwartete Anzahl = Versuche · Wahrscheinlichkeit
  • Über 100 % gibt es nicht — dann hast du günstige und mögliche Fälle vertauscht.
  • Zufallsgeräte haben kein Gedächtnis: Der nächste Wurf weiß nichts vom letzten.

Wie oft hintereinander? — zum Ausprobieren

Bei mehreren Versuchen hintereinander werden die Wahrscheinlichkeiten malgenommen — nicht addiert.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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