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Mathe · Klasse 7

Dreiecke — einfach erklärt

In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°. Aus den Seiten liest du ab, welche Art von Dreieck vorliegt.

Dreiecke jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

In einem Dreieck sind zwei Winkel bekannt: α = 83° und β = 74°.
Wie groß ist γ in Grad?

Erste Frage an dich

Wie groß ist die Winkelsumme in jedem Dreieck?

180°
360°
90°

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Diese Zahl gilt für jedes Dreieck, ohne Ausnahme.

Dreiecke von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Ein Dreieck hat drei Ecken, drei Seiten und drei Winkel. Die Ecken heißen A, B und C.

Die Winkel bekommen griechische Buchstaben: α (alpha) bei A, β (beta) bei B, γ (gamma) bei C.

Die wichtigste Regel überhaupt: Die drei Winkel ergeben zusammen immer 180°. Egal, wie das Dreieck aussieht.

Kennst du zwei Winkel, bekommst du den dritten also durch Abziehen: γ = 180° − α − β.

Nach den Seiten unterscheidet man drei Arten. Gleichseitig: alle drei Seiten gleich lang. Gleichschenklig: zwei Seiten gleich lang. Ungleichseitig: alle verschieden.

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind auch die beiden Basiswinkel gleich groß. Das nutzt man ständig aus.

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60° — weil 180 durch 3 eben 60 ergibt.

Nach den Winkeln unterscheidet man ebenfalls: spitzwinklig (alle unter 90°), rechtwinklig (einer genau 90°), stumpfwinklig (einer über 90°).

Mehr als ein Winkel über 90° geht nicht — sonst käme man über 180°.

Der Umfang ist die Summe aller Seiten. Die Fläche ist Grundseite mal Höhe geteilt durch 2.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Zeichne das Dreieck, auch grob, und trag alle bekannten Werte ein.
  2. Bei Winkeln: Zwei bekannt heißt, der dritte ist 180° minus die beiden.
  3. Prüf, ob eine besondere Art vorliegt — gleichschenklig oder gleichseitig spart Rechenarbeit.
  4. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich groß.
  5. Prüf zum Schluss: Alle drei Winkel zusammen müssen 180° ergeben.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze 40°. Wie groß ist ein Basiswinkel?

  1. Winkelsumme 180°
  2. Für beide Basiswinkel bleiben 180 − 40 = 140°
  3. Sie sind gleich groß: 140 : 2

Ergebnis: 70°

Die häufigsten Fehler

Nur einen Winkel abgezogenγ = 180° − α − β. Beide bekannten Winkel müssen weg.
Bei gleichschenklig den falschen Winkel halbiertHalbiert wird der Rest nach Abzug des Spitzenwinkels, nicht der Spitzenwinkel selbst.
Ein unmögliches Dreieck akzeptiertZwei Winkel, die zusammen schon über 180° ergeben, gibt es nicht. Dann steckt ein Fehler in der Angabe.
Dreiecksungleichung übersehenDie beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste. Sonst schließt sich das Dreieck nicht.

Dreiecksarten auf einen Blick

ArtSeitenWinkel
gleichseitigalle drei gleichalle 60°
gleichschenkligzwei gleichzwei gleich (Basiswinkel)
ungleichseitigalle verschiedenalle verschieden
spitzwinklig—alle unter 90°
rechtwinklig—einer genau 90°
stumpfwinklig—einer über 90°

Die oberen drei Arten richten sich nach den Seiten, die unteren drei nach den Winkeln. Ein Dreieck gehört immer zu je einer Art aus beiden Gruppen.

Zum Ansehen

40° 70° 70° Gleich lange Schenkel — gleich große Basiswinkel 40° + 70° + 70° = 180°

Wörter, die man kennen muss

WinkelsummeDie 180°, die in jedem Dreieck zusammenkommen.
GleichschenkligZwei Seiten gleich lang, daher auch zwei Winkel gleich groß.
BasiswinkelDie beiden gleich großen Winkel im gleichschenkligen Dreieck.
HypotenuseDie längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, gegenüber dem rechten Winkel.

Das Wichtigste in Kürze

  • α + β + γ = 180° — in jedem Dreieck
  • Dritter Winkel: γ = 180° − α − β
  • Gleichschenklig: die beiden Basiswinkel sind gleich groß.
  • Basiswinkel = (180° − Winkel an der Spitze) : 2
  • Gleichseitig: alle Winkel 60°.
  • Umfang u = a + b + c
  • Fläche A = Grundseite · Höhe : 2
  • Die längste Seite liegt immer dem größten Winkel gegenüber.

Zwei Winkel ziehen, der dritte folgt — zum Ausprobieren

Die Winkelsumme ist immer 180°. Der dritte Winkel hat also gar keine Wahl.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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