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Strahlensätze — einfach erklärt

Schneiden parallele Geraden zwei Strahlen, stehen die Abschnitte im selben Verhältnis. Damit misst man Höhen, an die man nicht herankommt.

Strahlensätze jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Zwei Strahlen werden von parallelen Geraden geschnitten. Auf dem einen Strahl liegen 10 cm und 15 cm, auf dem anderen 9 cm und die gesuchte Strecke.
Wie lang ist sie in Zentimetern?

Erste Frage an dich

Was muss gegeben sein, damit der Strahlensatz gilt?

Die schneidenden Geraden müssen parallel sein
Die Strahlen müssen gleich lang sein
Es muss ein rechter Winkel vorkommen

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Ohne diese eine Bedingung stimmt gar nichts.

Strahlensätze von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Zeichne zwei Strahlen, die von einem Punkt ausgehen. Jetzt schneide sie mit zwei parallelen Geraden.

Dann entstehen zwei Dreiecke, die genau gleich aussehen — nur eines ist größer. Man sagt: Sie sind ähnlich.

Bei ähnlichen Figuren sind alle Winkel gleich groß und alle Seiten im selben Verhältnis vergrößert.

Genau das ist der Strahlensatz: Was auf dem einen Strahl im Verhältnis 1 zu 2 steht, steht auf dem anderen ebenfalls im Verhältnis 1 zu 2.

Die Bedingung ist wichtig: Die schneidenden Geraden müssen parallel sein. Sonst gilt gar nichts.

Zum Rechnen stellst du eine Verhältnisgleichung auf und löst über Kreuz.

Der praktische Nutzen ist groß. Du misst einen Stab und seinen Schatten, dann den Schatten eines Baums — und kennst die Baumhöhe.

Das funktioniert, weil die Sonnenstrahlen praktisch parallel einfallen. Also sind die beiden Dreiecke ähnlich.

Wichtig ist, immer zusammengehörige Strecken ins Verhältnis zu setzen: Höhe zu Schatten beim Stab, Höhe zu Schatten beim Baum.

Kontrollier das Ergebnis mit dem Kopf. Ein Baum mit 30 cm Höhe wäre offensichtlich falsch.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Prüf zuerst: Sind die schneidenden Geraden wirklich parallel? Sonst gilt nichts.
  2. Zeichne die Figur und beschrifte alle bekannten Strecken.
  3. Ordne zusammengehörige Strecken einander zu — Höhe zu Schatten, kurz zu kurz.
  4. Stell die Verhältnisgleichung auf und löse über Kreuz.
  5. Prüf das Ergebnis: Die größere Figur muss auch die größeren Strecken haben.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Ein 2 m langer Stab wirft 1 m Schatten, ein Baum 5 m. Wie hoch ist der Baum?

  1. Verhältnis beim Stab: 2 : 1 = 2
  2. Dasselbe Verhältnis gilt beim Baum.
  3. Baumhöhe = 5 · 2

Ergebnis: 10 m

Die häufigsten Fehler

Ohne Parallelität gerechnetDer Strahlensatz gilt nur bei parallelen Schnittgeraden.
Unpassende Strecken ins Verhältnis gesetztHöhe gehört zu Schatten. Wer Höhe zu Höhe und Schatten zu Schatten mischt, verdreht die Gleichung.
Abschnitte mit ganzen Strecken verwechseltEs macht einen Unterschied, ob eine Strecke vom Scheitel aus oder erst ab der ersten Parallelen gemessen wird.
Nicht zur selben Zeit gemessenBei der Schattenmethode müssen beide Messungen gleichzeitig erfolgen. Die Sonne wandert.

Höhe über den Schatten bestimmen

HöheSchattenHöhe : Schatten
Stab2 m1 m2
Zaunpfahl3 m1,5 m2
Baumgesucht5 m2
Rechnung5 · 2 = 10 m

Die letzte Spalte ist bei allen gleich — genau darauf beruht die Rechnung. Sie gilt nur, wenn alles zur selben Zeit gemessen wird.

Zum Ansehen

2 m 1 m ? 5 m Sonnenstrahlen laufen parallel Höhe : Schatten ist bei beiden gleich

Wörter, die man kennen muss

StrahlensatzParallele Geraden teilen zwei Strahlen im gleichen Verhältnis.
ÄhnlichGleiche Form, andere Größe: alle Winkel gleich, alle Seiten im selben Verhältnis.
VerhältnisgleichungEine Gleichung aus zwei Brüchen, die gleich sind.
Über KreuzBeim Lösen einer Verhältnisgleichung: außen mal außen gleich innen mal innen.

Das Wichtigste in Kürze

  • Voraussetzung: Die schneidenden Geraden müssen parallel sein.
  • Die Abschnitte auf beiden Strahlen stehen im selben Verhältnis.
  • Verhältnisgleichung aufstellen und über Kreuz malnehmen.
  • Immer zusammengehörige Strecken ins Verhältnis setzen.
  • Schattenmessung: Stabhöhe : Stabschatten = Baumhöhe : Baumschatten
  • Beide Messungen zur selben Zeit machen — sonst steht die Sonne anders.
  • Ergebnis auf Plausibilität prüfen.

Schatten messen statt klettern — zum Ausprobieren

Zwei ähnliche Dreiecke: Stab und Baum. Zieh die Werte und sieh, wie die Höhe folgt.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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