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Ähnlichkeit — einfach erklärt

Ähnlich heißt: gleiche Form, andere Größe. Alle Winkel bleiben, alle Seiten werden mit demselben Faktor gestreckt.

Ähnlichkeit jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Zwei Dreiecke sind ähnlich. Im kleinen sind die Seiten 10 cm und 7 cm.
Im großen ist die erste Seite 25 cm. Wie lang ist die zweite, in cm?

Erste Frage an dich

Was bedeutet ähnlich bei Figuren?

Gleiche Winkel, alle Seiten im selben Verhältnis
Gleiche Fläche
Gleich lange Seiten

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Denk an ein Foto, das vergrößert wird.

Ähnlichkeit von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben, aber verschieden groß sind.

Denk an ein Foto, das man vergrößert: Alles wird größer, aber nichts verzerrt.

Bei ähnlichen Figuren sind alle entsprechenden Winkel gleich groß.

Und alle entsprechenden Seiten stehen im selben Verhältnis zueinander.

Dieses Verhältnis heißt Streckfaktor, meist k genannt.

Du findest ihn, indem du eine große Seite durch die entsprechende kleine teilst.

Ist k = 3, dann ist jede Seite der großen Figur dreimal so lang wie die entsprechende kleine.

Für Flächen gilt etwas anderes: Sie wachsen mit k · k, also mit k².

Bei k = 3 ist die Fläche also neunmal so groß, nicht dreimal.

Bei Körpern kommt der Faktor dreimal vor: Das Volumen wächst mit k³, bei k = 3 also 27-fach.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Prüf, ob die Figuren wirklich ähnlich sind: alle Winkel gleich.
  2. Such ein Paar einander entsprechender Seiten, bei dem beide Längen bekannt sind.
  3. Teile die große durch die kleine — das ist der Streckfaktor k.
  4. Jede andere Seite der kleinen Figur mal k ergibt die entsprechende große.
  5. Für Flächen mit k² rechnen, für Volumen mit k³.
  6. Prüf zum Schluss die Größenordnung: Bei k = 2 muss alles etwa doppelt so lang sein.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Zwei ähnliche Dreiecke: klein 4 cm und 7 cm, groß 10 cm und ? cm.

  1. Streckfaktor: 10 : 4 = 2,5
  2. Zweite Seite: 7 · 2,5

Ergebnis: 17,5 cm

Die häufigsten Fehler

Den Faktor addiert statt multipliziertWird aus 4 cm 6 cm, sind das nicht „plus 2“ für alle Seiten, sondern mal 1,5. Die 8-cm-Seite wird dann 12 cm, nicht 10 cm.
Bei Flächen mit k statt k² gerechnetDoppelte Kantenlänge heißt vierfache Fläche. Genau das unterschätzt fast jeder.
Nicht entsprechende Seiten verglichenMan muss die Seiten vergleichen, die an denselben Winkeln liegen — sonst kommt Unsinn heraus.
Ähnlich mit kongruent verwechseltKongruent heißt deckungsgleich, also k = 1. Ähnlich ist der allgemeinere Fall.

Was der Streckfaktor mit was macht

Streckfaktor kLängenFlächen (k²)Volumen (k³)
1gleichgleichgleich
1,51,5-fach2,25-fach3,375-fach
2doppelt4-fach8-fach
33-fach9-fach27-fach
1010-fach100-fach1000-fach
0,5halbViertelAchtel

Die letzte Zeile erklärt, warum ein Modellauto im Maßstab 1 : 2 nur ein Achtel des Materials braucht.

Zum Ansehen

4 cm 3 cm 8 cm 6 cm k = 2 · Winkel gleich · Fläche 4-fach

Wörter, die man kennen muss

ÄhnlichGleiche Winkel, alle Seiten im selben Verhältnis.
KongruentDeckungsgleich — der Sonderfall k = 1.
Streckfaktor kDas Verhältnis entsprechender Seiten.
Entsprechende SeitenDie Seiten, die an denselben Winkeln liegen.
Zentrische StreckungDie Abbildung, die eine ähnliche Figur erzeugt.

Das Wichtigste in Kürze

  • Ähnlich: gleiche Winkel, Seiten im selben Verhältnis.
  • Streckfaktor k = große Seite : entsprechende kleine Seite.
  • Jede Länge wird mit k malgenommen.
  • Flächen wachsen mit k².
  • Volumen wachsen mit k³.
  • k = 1 bedeutet kongruent.

Strecken und zusehen — zum Ausprobieren

Zieh den Streckfaktor und achte darauf, wie unterschiedlich Länge, Fläche und Volumen wachsen.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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