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Quadratische Gleichungen — einfach erklärt

Oft auch gesucht als: pq-Formel · Mitternachtsformel

Gleichungen, in denen ein x² vorkommt. Sie haben meist zwei Lösungen statt einer.

Quadratische Gleichungen jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

x² − 5x + 6 = 0

Erste Frage an dich

Bevor du rechnest: Was sind hier p und q?

p = -5 und q = 6
p = 6 und q = -5
p = 5 und q = 6

Danach kommen 3 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: In der Form x² + px + q = 0 ist p die Zahl vor dem x und q die Zahl ganz hinten.

Quadratische Gleichungen von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Bei 2x = 6 gibt es genau eine Lösung. Bei x² = 9 gibt es zwei: 3 und −3, denn beide ergeben quadriert 9.

Deshalb liefert die p-q-Formel auch immer zwei Werte — einmal mit Plus, einmal mit Minus vor der Wurzel.

Wichtig: Die Formel funktioniert nur, wenn vor dem x² nichts steht. Steht dort eine Zahl, teilt man zuerst die ganze Gleichung durch sie.

Steht ein Produkt auf null, geht es viel schneller: Dann muss einer der Faktoren null sein — jede Klammer einzeln betrachten.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Bring die Gleichung auf Null: alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht.
  2. Prüf, ob du ausklammern kannst — das ist der schnellste Weg.
  3. Sonst in die Normalform x² + px + q = 0 bringen, notfalls durch den Faktor vor x² teilen.
  4. p-q-Formel anwenden oder quadratische Ergänzung.
  5. Diskriminante prüfen: negativ heißt keine Lösung, null heißt eine, positiv heißt zwei.
  6. Beide Lösungen einsetzen und prüfen.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: x² − 5x + 6 = 0

  1. p = −5 und q = 6 ablesen.
  2. −p/2 = 2,5
  3. Unter der Wurzel: 2,5² − 6 = 0,25 → √0,25 = 0,5
  4. 2,5 + 0,5 = 3 und 2,5 − 0,5 = 2

Ergebnis: x₁ = 2, x₂ = 3

Die häufigsten Fehler

Nicht auf Null gebrachtDie Formeln gelten nur, wenn rechts eine 0 steht.
Nur eine Lösung angegebenMeistens gibt es zwei. Das Vorzeichen vor der Wurzel bedeutet plus und minus.
Vor dem Anwenden nicht normiertSteht eine Zahl vor x², muss erst die ganze Gleichung durch sie geteilt werden.
Negative Diskriminante ignoriertUnter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Dann gibt es im reellen Bereich keine Lösung.

Zum Ansehen

x x₁ x₂ Wo die Parabel die Linie kreuzt, ist die Gleichung null Deshalb gibt es meistens zwei Lösungen

Wörter, die man kennen muss

pDie Zahl vor dem x — mit ihrem Vorzeichen.
qDie Zahl ganz hinten — mit ihrem Vorzeichen.
DiskriminanteDas, was unter der Wurzel steht. Ist sie negativ, gibt es keine Lösung.

Das Wichtigste in Kürze

  • Normalform herstellen: x² + px + q = 0 (vor dem x² darf keine Zahl stehen).
  • p-q-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
  • p und q immer mit Vorzeichen ablesen — dort passieren die meisten Fehler.
  • Satz vom Nullprodukt: Steht ein Produkt auf null, ist mindestens ein Faktor null.
  • Probe: Die beiden Lösungen malgenommen ergeben q, addiert ergeben sie −p.

p, q und die Diskriminante — zum Ausprobieren

Zieh p und q und sieh, ob es zwei, eine oder gar keine Lösung gibt — und warum.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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