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Mathe · Klasse 10

Statistik — einfach erklärt

Aus vielen Zahlen macht man ein paar Kennwerte — Durchschnitt, Median und Spannweite sagen zusammen mehr als jeder für sich.

Statistik jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Noten einer Arbeit: 3, 2, 2, 2, 2, 3.
Wie groß ist der Durchschnitt? (auf zwei Stellen runden)

Erste Frage an dich

Wie rechnet man den Durchschnitt aus?

Summe aller Werte : Anzahl der Werte
Größter Wert − kleinster Wert
Der mittlere Wert der sortierten Liste

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Zwei Schritte: zusammenzählen und teilen.

Statistik von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Wenn du eine lange Liste von Messwerten hast, willst du sie zu wenigen aussagekräftigen Zahlen zusammenfassen.

Der bekannteste Kennwert ist der Durchschnitt, in der Mathematik arithmetisches Mittel genannt: alle Werte addieren, durch die Anzahl teilen.

Der Durchschnitt hat eine Schwäche. Ein einzelner Ausreißer verzieht ihn stark.

Beispiel: Vier Leute verdienen 2000 € und einer 100 000 €. Der Durchschnitt liegt bei 21 600 € — obwohl fast alle nur 2000 € haben.

Deshalb gibt es den Median. Dazu sortierst du alle Werte der Größe nach und nimmst den, der genau in der Mitte steht.

Im Beispiel wäre der Median 2000 €. Er beschreibt die Wirklichkeit hier viel besser.

Bei einer geraden Anzahl von Werten gibt es keine einzelne Mitte. Dann nimmt man den Durchschnitt der beiden mittleren.

Die Spannweite sagt, wie weit die Werte streuen: größter Wert minus kleinster Wert.

Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Bei Schulnoten ist das oft interessanter als der Durchschnitt.

Ein einzelner Kennwert kann täuschen. Erst Durchschnitt, Median und Spannweite zusammen geben ein ehrliches Bild.

Beim Median gilt immer: erst sortieren. Wer das vergisst, liest den falschen Wert ab.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Schreib alle Werte auf und sortiere sie der Größe nach. Das brauchst du für fast alles.
  2. Mittelwert: alle addieren, durch die Anzahl teilen.
  3. Median: den mittleren Wert der sortierten Liste ablesen. Bei gerader Anzahl den Durchschnitt der beiden mittleren.
  4. Spannweite: größter Wert minus kleinster.
  5. Modalwert: der häufigste Wert.
  6. Vergleich Mittelwert und Median. Liegen sie weit auseinander, gibt es Ausreißer.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Werte: 2, 2, 3, 3, 40 — Mittelwert, Median und Spannweite?

  1. Summe: 2 + 2 + 3 + 3 + 40 = 50
  2. Mittelwert: 50 : 5 = 10
  3. Sortiert: 2, 2, 3, 3, 40 → Median ist der dritte: 3
  4. Spannweite: 40 − 2 = 38

Ergebnis: Mittelwert 10, Median 3, Spannweite 38

Die häufigsten Fehler

Beim Median nicht sortiertOhne Sortieren liest du irgendeinen Wert ab, nicht den mittleren.
Durch die falsche Anzahl geteiltGeteilt wird durch die Anzahl der Werte, nicht durch den größten Wert oder die Anzahl der verschiedenen Werte.
Ausreißer nicht bemerktEin einziger extremer Wert verschiebt den Mittelwert stark. Der Median bleibt stabil.
Kennwerte einzeln interpretiertEin Mittelwert allein sagt wenig. Erst zusammen mit Spannweite und Median ergibt sich ein Bild.

Die Kennwerte und was sie leisten

KennwertWieAusreißer stören?
Arithmetisches MittelSumme : Anzahlja, sehr
Mediansortieren, Mitte ablesennein
Modalwertder häufigste Wertnein
Spannweitegrößter − kleinsterja, sehr
Beispiel 2, 2, 3, 3, 40Mittel 10, Median 3Median passt besser

Die letzte Zeile zeigt es: Ein einziger Ausreißer zieht den Durchschnitt auf 10 hoch, obwohl vier von fünf Werten bei 2 oder 3 liegen.

Zum Ansehen

2340 Median 3 Mittelwert 10 Ausreißer Ein Ausreißer zieht den Mittelwert weg — den Median nicht

Wörter, die man kennen muss

Arithmetisches MittelDer Durchschnitt: Summe geteilt durch Anzahl.
MedianDer mittlere Wert der sortierten Liste.
SpannweiteGrößter Wert minus kleinster Wert.
ModalwertDer Wert, der am häufigsten vorkommt.
AusreißerEin einzelner Wert, der stark aus der Reihe fällt.

Das Wichtigste in Kürze

  • Arithmetisches Mittel = Summe aller Werte : Anzahl der Werte
  • Median: erst sortieren, dann den mittleren Wert nehmen.
  • Bei gerader Anzahl: Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
  • Spannweite = größter Wert − kleinster Wert
  • Modalwert = der am häufigsten vorkommende Wert
  • Ausreißer verziehen Mittelwert und Spannweite, den Median nicht.
  • Kennwerte nie einzeln betrachten — erst zusammen ergeben sie ein Bild.

Ein Ausreißer und was er anrichtet — zum Ausprobieren

Fünf Messwerte. Zieh den letzten weit weg und schau, was der Mittelwert macht — und was der Median.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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