Erklärt von ganz vornOhne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragtDu bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wiederNach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.
So sieht das beim Üben aus
Eine echte Aufgabe aus diesem Thema.
Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.
Die Aufgabe
Ein Betrag von 2.000 € wächst jedes Jahr um 8 %. Wie viel sind es nach 2 Jahren?
Erste Frage an dich
Nach einem Jahr sind 8 % dazugekommen. Mit welcher Zahl nimmt man dafür mal?
1,08
0,08
8
Danach kommen 3 weitere Fragen —
und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin.
Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Der alte Bestand bleibt vollständig erhalten, der Zuwachs kommt oben drauf.
Exponentielles Wachstum von ganz vorn
Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.
Bei gleichmäßigem Wachstum kommt jedes Jahr derselbe Betrag dazu: 100, 200, 300, 400.
Bei exponentiellem Wachstum kommt jedes Jahr derselbe Anteil dazu. Und weil der Betrag schon gewachsen ist, wird der Zuwachs jedes Jahr größer.
Deshalb rechnet man nicht plus, sondern mal. 5 % Zuwachs heißt: mal 1,05 — die 1 steht für das, was schon da ist.
Bei Abnahme ist es dasselbe, nur mit einem Faktor kleiner als 1. 20 % weniger heißt: mal 0,8.
Wozu man das braucht
Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Krankheiten, Abkühlung, radioaktiver Zerfall: Alles, was sich um einen festen Prozentsatz ändert, wächst oder fällt exponentiell.
Wer den Unterschied zu linearem Wachstum versteht, durchschaut auch Kreditangebote und Sparpläne.
Schritt für Schritt
Bestimme den Startwert — der Zustand bei null Zeiteinheiten.
Bestimme den Wachstumsfaktor: bei +5 % ist er 1,05, bei −5 % ist er 0,95.
Formel: Endwert = Startwert · Faktor hoch Anzahl der Zeitschritte.
Achte darauf, dass Faktor und Zeitschritt zusammenpassen — Jahresfaktor zu Jahren.
Prüf die Richtung: Faktor über 1 heißt Wachstum, unter 1 heißt Abnahme.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Aufgabe: 1000 € wachsen 3 Jahre lang um 10 % pro Jahr
Faktor: 1 + 10/100 = 1,1
Drei Jahre: 1000 · 1,1³
1,1³ = 1,331
Ergebnis: 1331 €
Die häufigsten Fehler
Prozente addiert statt den Faktor potenziertDreimal 10 % Wachstum sind nicht 30 %, sondern 33,1 %. Der Zinseszins kommt dazu.
Faktor falsch gebildetBei einer Abnahme um 20 % ist der Faktor 0,8, nicht −0,2.
Linear und exponentiell verwechseltLinear heißt: immer derselbe Betrag dazu. Exponentiell heißt: immer derselbe Prozentsatz.
Zeiteinheiten nicht angepasstEin Monatszinssatz darf nicht mit der Zahl der Jahre potenziert werden.
Zum Ansehen
Wörter, die man kennen muss
WachstumsfaktorDie Zahl, mit der jedes Mal malgenommen wird — bei 5 % ist das 1,05.
StartwertDer Wert am Anfang, bevor etwas gewachsen ist.
ZerfallExponentielle Abnahme, Faktor kleiner als 1.
Das Wichtigste in Kürze
Endwert = Startwert · Faktorᶻᵉⁱᵗ
Zunahme um p Prozent: Faktor = 1 + p/100
Abnahme um p Prozent: Faktor = 1 − p/100
Die Zeit steht in der Hochzahl — daher der Name exponentiell.
Bei prozentualer Abnahme wird der Wert nie ganz null.
Wachstum über die Jahre — zum Ausprobieren
Prozent vom jeweils neuen Wert — deshalb wird die Kurve immer steiler.
Das Modell zum Schieben steht in der App —
dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.
Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist
diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich
hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.
Kostenlos, ohne Werbung. Ein Konto brauchst du nur, wenn sich die Seite merken soll,
was bei dir noch hakt.