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Kugel und Kegel — einfach erklärt

Für Kugel und Kegel gibt es feste Formeln. Der Unterschied zwischen Volumen und Oberfläche steckt in der Hochzahl.

Kugel und Kegel jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Eine Kugel hat den Radius 6 cm.
Wie groß ist ihr Volumen in Kubikzentimetern? (auf zwei Stellen runden)

Erste Frage an dich

Welche Formel gilt für das Kugelvolumen?

V = 4/3 · π · r³
V = 4 · π · r²
V = 1/3 · π · r² · h

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Es steht ein Bruch davor und der Radius hoch drei.

Kugel und Kegel von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Bei der Kugel gibt es nur eine einzige Maßangabe: den Radius. Alles andere folgt daraus.

Das Volumen der Kugel ist V = 4/3 · π · r³. Die Hochzahl 3 gehört zum Rauminhalt.

Die Oberfläche ist O = 4 · π · r². Die Hochzahl 2 gehört zur Fläche.

Eine schöne Merkhilfe: Die Kugeloberfläche ist genau viermal so groß wie ein Kreis mit demselben Radius.

Beim Kegel brauchst du zwei Angaben: den Radius des Grundkreises und die Höhe.

Das Volumen ist V = 1/3 · π · r² · h — also ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Das kann man ausprobieren: Ein Kegel voll Sand füllt einen gleich großen Zylinder genau dreimal.

Für die Mantelfläche des Kegels brauchst du die Mantellinie s — das ist die Strecke von der Spitze zum Rand des Grundkreises.

Sie ist nicht die Höhe. Höhe, Radius und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck: s² = r² + h².

Achte immer auf die Hochzahl. 2 bedeutet Fläche und cm², 3 bedeutet Volumen und cm³.

Rechne mit der π-Taste und runde erst ganz am Schluss.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Kläre, welcher Körper vorliegt und was gesucht ist — Volumen oder Oberfläche.
  2. Achte auf die Hochzahl: 3 gehört zum Volumen, 2 zur Oberfläche.
  3. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r².
  4. Kegel: V = 1/3 · π · r² · h. Für die Mantelfläche brauchst du die Mantellinie s.
  5. Ist s nicht gegeben, rechne sie mit s² = r² + h² aus.
  6. Rechne mit der π-Taste und runde erst am Ende.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Eine Kugel hat r = 3 cm. Volumen und Oberfläche?

  1. V = 4/3 · π · 3³ = 4/3 · π · 27
  2. V = 113,10 cm³
  3. O = 4 · π · 3² = 4 · π · 9
  4. O = 113,10 cm²

Ergebnis: V = 113,10 cm³ und O = 113,10 cm² — zufällig dieselbe Zahl, aber verschiedene Einheiten

Die häufigsten Fehler

Höhe und Mantellinie verwechseltDie Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche, die Mantellinie geht schräg zur Spitze. Sie ist immer länger.
Beim Kegel den Faktor 1/3 vergessenDann rechnest du einen Zylinder aus — dreimal zu viel.
Durchmesser statt Radius eingesetztBei r³ wirkt sich das achtfach aus. Immer prüfen, was gegeben ist.
Volumen- und Oberflächenformel vertauschtDie Einheit im Ergebnis verrät es sofort: cm³ oder cm².

Kugel und Kegel im Vergleich

KugelKegel
Gebraucht wirdnur rr und h
VolumenV = 4/3 · π · r³V = 1/3 · π · r² · h
OberflächeO = 4 · π · r²O = π · r² + π · r · s
Mantelfläche—M = π · r · s
Zusatz—s² = r² + h²
Vergleich4 Kreise mit demselben rein Drittel des Zylinders

Hochzahl 2 heißt Fläche und cm², Hochzahl 3 heißt Volumen und cm³. Daran erkennst du sofort, ob du die richtige Formel erwischt hast.

Zum Ansehen

r V = 4/3 · π · r³ O = 4 · π · r² h r s V = 1/3 · π · r² · h s² = r² + h²

Wörter, die man kennen muss

Radius rBei der Kugel der Abstand zum Mittelpunkt, beim Kegel der Radius des Grundkreises.
Mantellinie sBeim Kegel die Strecke von der Spitze zum Rand des Grundkreises.
Höhe hBeim Kegel der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche.
HalbkugelDie halbe Kugel — Volumen also 2/3 · π · r³.

Das Wichtigste in Kürze

  • Kugel: V = 4/3 · π · r³
  • Kugel: O = 4 · π · r²
  • Kegel: V = 1/3 · π · r² · h
  • Kegel: M = π · r · s und O = π · r² + π · r · s
  • Mantellinie: s² = r² + h² (Satz des Pythagoras)
  • Ein Kegel fasst ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
  • Hochzahl 2 → Fläche in cm². Hochzahl 3 → Volumen in cm³.
  • Doppelter Radius: achtfaches Kugelvolumen, aber nur vierfache Oberfläche.

Radius ziehen — zum Ausprobieren

Ein bisschen mehr Radius macht erstaunlich viel Volumen. Probier es aus.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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