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Logarithmus — einfach erklärt

Der Logarithmus fragt nach der Hochzahl: Wie oft muss ich eine Zahl mit sich selbst malnehmen, um auf ein bestimmtes Ergebnis zu kommen?

Logarithmus jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Wie oft muss man 10 mit sich selbst malnehmen, um 100 zu bekommen?
(Das ist der Logarithmus von 100 zur Basis 10.)

Erste Frage an dich

Was fragt ein Logarithmus überhaupt?

Nach der Hochzahl
Nach der Basis
Nach dem Ergebnis

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Er ist die Umkehrung des Potenzierens.

Logarithmus von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Beim Potenzieren fragst du: 10 hoch 3 — was kommt heraus? Antwort: 1000.

Beim Logarithmus fragst du andersherum: 1000 — welche Hochzahl war das? Antwort: 3.

Der Logarithmus ist also die Umkehrung des Potenzierens, so wie Teilen die Umkehrung des Malnehmens ist.

Man schreibt log 1000 = 3, wenn die Basis 10 ist. Bei Zehnerpotenzen kannst du einfach die Nullen zählen.

In der Digitaltechnik rechnet man zur Basis 2. Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3, weil 2 · 2 · 2 = 8.

Nützlich wird es bei sehr großen Verhältnissen. Eine Verstärkung vom Zehnfachen bis zum Millionenfachen wird zu Zahlen zwischen 10 und 60.

Genau das sind Dezibel: 10 · log der Leistungsverstärkung. Das Zehnfache sind 10 dB, das Hundertfache 20 dB, das Tausendfache 30 dB.

Praktisch daran: Aus Malnehmen wird Addieren. Zwei Verstärkerstufen mit je 20 dB ergeben zusammen 40 dB — statt 100 · 100 = 10 000.

Der Logarithmus einer Zahl kleiner als 1 ist negativ. log 0,1 ist −1, weil 10 hoch −1 gleich 0,1 ist.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Kläre die Basis: 10 beim Zehnerlogarithmus, 2 in der Digitaltechnik, e beim natürlichen Logarithmus.
  2. Frag dich: Wie oft muss die Basis mit sich selbst malgenommen werden?
  3. Bei glatten Zehnerpotenzen kannst du einfach die Nullen zählen.
  4. Sonst nimm die log-Taste am Taschenrechner.
  5. Für Dezibel: 10 · log der Leistungsverstärkung.
  6. Probe: Nimm die Basis hoch dein Ergebnis — es muss die Ausgangszahl herauskommen.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Ein Verstärker macht aus 1 W 100 W. Wie viele dB?

  1. Verstärkung: 100 : 1 = 100
  2. log 100 = 2 (eine 1 mit zwei Nullen)
  3. 10 · 2

Ergebnis: 20 dB

Die häufigsten Fehler

Logarithmus mit Division verwechseltlog von 1000 ist 3, nicht 100. Gefragt ist die Hochzahl, nicht das Ergebnis einer Teilung.
Basis nicht beachtetlog zur Basis 10 von 8 ist 0,9. log zur Basis 2 von 8 ist 3. Die Basis entscheidet.
Bei Dezibel den Faktor 10 vergessenBei Leistungen gilt 10 · log. Beim Hundertfachen sind das 20 dB, nicht 2.
Logarithmus von null oder negativen Zahlen gesuchtDen gibt es nicht. Keine Potenz einer positiven Basis wird null oder negativ.

Zehnerlogarithmus und Dezibel

VerhältnislogdB (Leistung)
100 dB
20,33 dB
10110 dB
100220 dB
1 000330 dB
1 000 000660 dB
0,1−1−10 dB
0,5−0,3−3 dB

Merk dir die 3 dB: Sie bedeuten ungefähr das Doppelte. −3 dB bedeuten ungefähr die Hälfte. Damit kommst du im Datenblatt schon weit.

Zum Ansehen

10100 1 0001 000 000 10 dB20 dB 30 dB60 dB Riesige Verhältnisse werden zu handlichen Zahlen

Wörter, die man kennen muss

LogarithmusDie Hochzahl, mit der man die Basis potenzieren muss.
BasisDie Zahl, die potenziert wird — meist 10 oder 2.
Dezibel (dB)Ein logarithmisches Maß für Verhältnisse.
ZehnerlogarithmusDer Logarithmus zur Basis 10, auf dem Rechner die Taste log.

Das Wichtigste in Kürze

  • log ist die Umkehrung der Potenz: aus 10³ = 1000 wird log 1000 = 3.
  • Bei Zehnerpotenzen einfach die Nullen zählen.
  • log 1 = 0, immer und bei jeder Basis.
  • Zahlen unter 1 haben einen negativen Logarithmus.
  • Dezibel bei Leistungen: 10 · log der Verstärkung.
  • 3 dB entsprechen etwa dem Doppelten, −3 dB etwa der Hälfte.
  • Aus Malnehmen wird Addieren: Stufen in dB werden zusammengezählt.
  • Den Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen gibt es nicht.

Verstärkung in Dezibel — zum Ausprobieren

Zieh die Verstärkung. Der Logarithmus macht aus riesigen Sprüngen handliche Zahlen.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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