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Mathe · Klasse 8

Kreis — einfach erklärt

Beim Kreis brauchst du zwei Formeln — eine für den Rand und eine für die Fläche. Der Unterschied steckt im Quadrat.

Kreis jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Ein Kreis hat den Radius 4 cm.
Wie groß ist der Umfang in Zentimetern? (π = 3,14159…, auf zwei Stellen runden)

Erste Frage an dich

Was ist der Umfang eines Kreises?

Die Länge der Kreislinie
Die Fläche im Inneren
Der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Denk an ein Seil, das du einmal um den Kreis legst.

Kreis von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Alle Punkte eines Kreises haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius r.

Der Durchmesser d geht quer durch den Mittelpunkt, von Rand zu Rand. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d = 2 · r.

Der Umfang ist der Weg einmal außen herum. Er ist immer gut dreimal so lang wie der Durchmesser.

Dieses „gut dreimal“ ist die Zahl π (sprich „Pi“). Sie ist ungefähr 3,14159 und hört nie auf.

Damit gilt: u = π · d oder, mit dem Radius geschrieben, u = 2 · π · r. Beides ist dasselbe.

Die Fläche im Inneren rechnest du anders: A = π · r². Hier steht der Radius im Quadrat.

Merk dir den Unterschied an der Einheit. Der Umfang ist eine Länge (cm), die Fläche eine Fläche (cm²) — deshalb das Quadrat.

Beim Flächeninhalt gehört immer der Radius hinein, nie der Durchmesser. Ist nur d gegeben, erst halbieren.

Verdoppelst du den Radius, wird der Umfang doppelt so groß, die Fläche aber viermal so groß.

Rechne mit der π-Taste des Taschenrechners und runde erst am Schluss. Sonst summieren sich die Rundungsfehler.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Kläre, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. In die Flächenformel gehört immer der Radius.
  2. Kläre, ob nach dem Rand (Umfang) oder nach der Fläche gefragt ist.
  3. Umfang: u = 2 · π · r oder u = π · d.
  4. Fläche: A = π · r². Erst quadrieren, dann mit π malnehmen.
  5. Rechne mit der π-Taste und runde erst am Schluss.
  6. Prüf die Einheit: cm beim Umfang, cm² bei der Fläche.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: Ein Kreis hat 5 cm Radius. Umfang und Fläche?

  1. u = 2 · π · 5 = 31,42 cm
  2. A = π · 5² = π · 25
  3. A = 78,54 cm²

Ergebnis: u = 31,42 cm und A = 78,54 cm²

Die häufigsten Fehler

Durchmesser statt Radius eingesetztBei d = 10 cm ist r = 5 cm. Wer 10 einsetzt, bekommt die vierfache Fläche.
Umfang- und Flächenformel vertauschtDie Hochzahl verrät es: r² gehört zur Fläche.
Zu früh gerundetWer mit 3,14 statt der π-Taste rechnet und mehrfach rundet, weicht am Ende sichtbar ab.
Beim doppelten Radius die doppelte Fläche erwartetDoppelter Radius heißt vierfache Fläche — wegen des Quadrats.

Kreisformeln und ein paar Werte

RadiusDurchmesserUmfangFläche
1 cm2 cm6,28 cm3,14 cm²
2 cm4 cm12,57 cm12,57 cm²
3 cm6 cm18,85 cm28,27 cm²
5 cm10 cm31,42 cm78,54 cm²
10 cm20 cm62,83 cm314,16 cm²
Formeld = 2 · ru = 2 · π · rA = π · r²

Schau dir die Spalten an: Verdoppelt sich der Radius, verdoppelt sich der Umfang — die Fläche wird aber viermal so groß.

Zum Ansehen

r d = 2r Fläche innen, Umfang außen u = 2 · π · r der Rand — in cm A = π · r² das Innere — in cm² Das Quadrat macht den Unterschied

Wörter, die man kennen muss

Radius rAbstand vom Mittelpunkt zum Rand.
Durchmesser dVon Rand zu Rand durch den Mittelpunkt. d = 2 · r.
Umfang uDie Länge der Kreislinie.
π (Pi)Rund 3,14159 — das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.

Das Wichtigste in Kürze

  • d = 2 · r
  • u = 2 · π · r = π · d
  • A = π · r²
  • π ≈ 3,14159
  • Umfang ist eine Länge (cm), Fläche eine Fläche (cm²).
  • In die Flächenformel gehört immer der Radius — bei gegebenem Durchmesser erst halbieren.
  • Doppelter Radius: doppelter Umfang, aber vierfache Fläche.
  • Erst am Schluss runden.

Zieh den Radius größer — zum Ausprobieren

Achte darauf, wie unterschiedlich schnell Umfang und Fläche wachsen.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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