Erklärt von ganz vornOhne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragtDu bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wiederNach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.
So sieht das beim Üben aus
Eine echte Aufgabe aus diesem Thema.
Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.
Die Aufgabe
(x + 3)²
Erste Frage an dich
Was bedeutet (x + 3)² überhaupt?
(x + 3) · (x + 3)
x² + 3²
2 · (x + 3)
Danach kommen 3 weitere Fragen —
und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin.
Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Hoch 2 heißt: mit sich selbst malnehmen.
Binomische Formeln von ganz vorn
Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.
(a + b)² sieht so aus, als wäre es a² + b². Das ist der häufigste Fehler in der ganzen Mittelstufe.
Denn (a + b)² heißt: (a + b) · (a + b). Und beim Ausmultiplizieren trifft jeder Teil der ersten Klammer jeden Teil der zweiten — das sind vier Produkte, nicht zwei.
Zwei dieser vier Produkte sind gleich (a·b und b·a). Zusammen ergeben sie den mittleren Teil: 2ab.
Bei (a + b)(a − b) sind diese beiden mittleren Teile einmal plus und einmal minus — sie löschen sich aus. Deshalb bleibt nur a² − b² übrig.
Wozu man das braucht
Sie sparen dir beim Ausmultiplizieren Zeit und beim Faktorisieren überhaupt erst den Weg. In quadratischen Gleichungen und beim Kürzen von Brüchen brauchst du sie ständig.
Auch im Kopfrechnen praktisch: 99² sind (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
Schritt für Schritt
Schau, welche Form vorliegt: Plus in der Klammer, Minus in der Klammer, oder plus mal minus.
Erste Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Zweite Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Dritte Formel: (a + b) · (a − b) = a² − b².
Bestimme a und b sauber, samt Vorzeichen und Zahlen davor.
Probe durch normales Ausmultiplizieren, wenn du unsicher bist.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Aufgabe: (x + 5)²
Erstes Quadrat: x².
Doppeltes Produkt: 2 · x · 5 = 10x.
Zweites Quadrat: 5² = 25.
Ergebnis: x² + 10x + 25
Die häufigsten Fehler
Das mittlere Glied vergessen(a + b)² ist nicht a² + b². Der Term 2ab gehört dazu — das ist der klassische Anfängerfehler.
Bei der zweiten Formel das Vorzeichen von b² gedreht(a − b)² endet auf +b², nicht auf −b². Ein Quadrat ist nie negativ.
Den Faktor nicht mit quadriert(3x)² ist 9x², nicht 3x². Beim Quadrieren wird alles in der Klammer quadriert — die Zahl davor genauso wie das x.
Dritte Formel mit den anderen verwechseltNur bei plus mal minus fällt das mittlere Glied weg.
Zum Ansehen
Wörter, die man kennen muss
BinomEin Term aus zwei Gliedern, zum Beispiel a + b.
Doppeltes ProduktDer mittlere Teil 2ab — er entsteht, weil a·b zweimal vorkommt.
Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist
diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich
hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.
Kostenlos, ohne Werbung. Ein Konto brauchst du nur, wenn sich die Seite merken soll,
was bei dir noch hakt.