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Gleichungssysteme — einfach erklärt

Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen. Es gibt drei Wege, sie zu lösen — und einer passt fast immer am besten.

Gleichungssysteme jetzt üben Kostenlos, ohne Anmeldung · die Lösung sagen? Könnte jeder

Was dich hier erwartet

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Erklärt von ganz vorn Ohne Vorwissen, ein Satz nach dem anderen. Wer es schon kann, überspringt es.
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Nicht vorgesagt, sondern gefragt Du bekommst Fragen, die dich hinführen. Abschreiben geht hier nicht — verstehen schon.
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Was hakt, kommt wieder Nach einem Tag, nach drei Tagen, nach einer Woche. So lange, bis es sitzt.

So sieht das beim Üben aus

Eine echte Aufgabe aus diesem Thema. Du bekommst sie nicht vorgerechnet — du wirst hingeführt.

Die Aufgabe

Zwei Gleichungen:
I:  x + y = 9
II: 2x − y = 15
Wie groß ist x?

Erste Frage an dich

Welches Verfahren bietet sich hier an?

Das Additionsverfahren
Das Einsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren

Danach kommen 2 weitere Fragen — und am Schluss schreibst du die Antwort selbst hin. Wenn du nicht weiterweißt, gibt es einen Tipp: Schau dir die Vorzeichen vor y an.

Gleichungssysteme von ganz vorn

Ein Satz nach dem anderen, ohne Vorwissen.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten hat unendlich viele Lösungen. Erst eine zweite Gleichung legt die Sache fest.

Beide Gleichungen zusammen heißen Gleichungssystem. Gesucht ist das Zahlenpaar, das in beide passt.

Es gibt drei Verfahren. Sie führen alle zum selben Ergebnis, sind aber unterschiedlich bequem.

Einsetzungsverfahren: Steht in einer Gleichung schon x oder y allein, setzt du den ganzen Ausdruck in die andere ein.

Gleichsetzungsverfahren: Steht in beiden Gleichungen dieselbe Unbekannte allein, setzt du die rechten Seiten gleich.

Additionsverfahren: Steht eine Unbekannte einmal mit Plus und einmal mit Minus, addierst du beide Gleichungen — sie fällt von selbst weg.

Egal welches Verfahren: Am Ende steht eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten. Die löst du wie gewohnt.

Dann setzt du den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und bekommst die zweite Unbekannte.

Zum Schluss immer die Probe machen: Setz beide Werte in beide Gleichungen ein. Stimmt es zweimal, hast du richtig gerechnet.

Bei Textaufgaben gilt: Erst benennen, was x und y sein sollen. Dann eine Gleichung für die Anzahl und eine für den Wert aufstellen.

Wozu man das braucht

Schritt für Schritt

  1. Nummeriere die Gleichungen mit I und II.
  2. Schau, welches Verfahren am wenigsten Arbeit macht.
  3. Steht eine Unbekannte allein: einsetzen. Steht sie einmal mit Plus und einmal mit Minus: addieren.
  4. Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Unbekannten.
  5. Setz das Ergebnis in eine der Ausgangsgleichungen ein und rechne die zweite Unbekannte aus.
  6. Probe in beide Gleichungen — nicht nur in eine.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Aufgabe: I: x + y = 10 II: 2x − y = 5

  1. +y und −y → Additionsverfahren
  2. I + II: 3x = 15
  3. x = 5
  4. In I: 5 + y = 10 → y = 5
  5. Probe in II: 2 · 5 − 5 = 5 ✓

Ergebnis: x = 5 und y = 5

Die häufigsten Fehler

Nur eine Unbekannte ausgerechnetDie Lösung ist ein Zahlenpaar. Beide Werte gehören zur Antwort.
In die umgeformte Gleichung eingesetztSetz den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. In der umgeformten steckt vielleicht schon ein Fehler.
Beim Addieren nur eine Seite verrechnetBeide Gleichungen werden komplett addiert — links plus links, rechts plus rechts.
Probe nur in einer GleichungEin Zahlenpaar kann zufällig in eine Gleichung passen. Erst beide zusammen sind der Beweis.

Welches Verfahren wann

VerfahrenPasst, wenn …Vorgehen
Einsetzenx oder y steht schon alleinAusdruck in die andere Gleichung einsetzen
Gleichsetzenbeide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst sindrechte Seiten gleichsetzen
Addiereneine Unbekannte einmal + und einmal − vorkommtbeide Gleichungen addieren
Addieren mit Faktordie Zahlen vor x oder y nicht passeneine Gleichung erst mit einer Zahl malnehmen

Alle drei Wege führen zum selben Ergebnis. Wähle den, bei dem du am wenigsten umformen musst.

Zum Ansehen

Lösung I II x y Das Zahlenpaar, das in beide Gleichungen passt

Wörter, die man kennen muss

GleichungssystemZwei (oder mehr) Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen.
EinsetzungsverfahrenEinen Ausdruck aus der einen Gleichung in die andere einsetzen.
GleichsetzungsverfahrenZwei nach derselben Unbekannten aufgelöste Gleichungen gleichsetzen.
AdditionsverfahrenBeide Gleichungen addieren, damit eine Unbekannte wegfällt.
ProbeBeide Werte in beide Gleichungen einsetzen und prüfen.

Das Wichtigste in Kürze

  • Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen.
  • Ziel ist immer: eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.
  • Einsetzen, wenn eine Unbekannte schon allein steht.
  • Addieren, wenn eine Unbekannte einmal + und einmal − vorkommt.
  • Den gefundenen Wert in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen — nicht in die umgeformte.
  • Immer die Probe machen: beide Werte in beide Gleichungen.
  • Bei Textaufgaben zuerst festlegen, wofür x und y stehen.

Zwei Geraden, ein Schnittpunkt — zum Ausprobieren

Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Punkt, in dem sich beide Geraden treffen.

Das Modell zum Schieben steht in der App — dort siehst du sofort, was sich ändert, wenn du an einem Wert drehst.

Modell ausprobieren

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Lesen reicht nicht

Verstanden hast du es erst, wenn du es selbst hinschreiben kannst. Genau dafür ist diese Seite gebaut: Die Lösung sagen könnte jeder — hier kommen Fragen, die dich hinführen, und am Schluss schreibst du die Antwort selbst.

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