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Klasse 5 bis 10 — Flächen, Körper, Prozent, Gleichungen, Funktionen und Trigonometrie.
Zu jeder Formel stehen alle Umstellungen da — nicht nur U = R · I, sondern auch die Fassungen nach R und nach I. Dazu, was jedes Formelzeichen bedeutet, in welcher Einheit es gemessen wird, und ein Beispiel mit Zahlen.
Jede umgestellte Formel wird beim Bauen nachgerechnet: Der Prüfer setzt Zufallszahlen in die Grundformel und in jede Umstellung ein und vergleicht die Ergebnisse. Eine falsch umgestellte Formel in einer Formelsammlung ist schlimmer als gar keine — sie wird geglaubt.
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Die erste Flächenformel — und die Grundlage für fast alle anderen.
Beispiela = 5 cmb = 3 cmA = 15 cm²
Ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
Beispiela = 6 cmA = 36 cm²
Ein Dreieck ist immer das halbe Rechteck über derselben Grundseite.
Beispielg = 8 cmh = 5 cmA = 20 cm²
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite — nicht die schräge Seite nehmen.
Ein verschobenes Rechteck — die Fläche bleibt dieselbe.
Beispiela = 7 cmh = 4 cmA = 28 cm²
Zwei Seiten sind parallel, aber verschieden lang.
Beispiela = 8 cmc = 4 cmh = 5 cmA = 30 cm²
Zuerst den Mittelwert der beiden parallelen Seiten, dann mal der Höhe.
Die Formel mit π — Fläche und Umfang aus dem Radius.
Beispielr = 5 cmA = 78,54 cm²
Steht der Durchmesser da, erst halbieren. Das ist der häufigste Fehler bei Kreisaufgaben.
Sechs gleiche Quadrate.
Beispiela = 4 cmV = 64 cm³
Die Kiste, der Raum, der Kabelkanal.
Beispiela = 5 cmb = 3 cmc = 2 cmV = 30 cm³
Alles, was oben und unten dieselbe Fläche hat.
BeispielG = 24 cm²h = 10 cmV = 240 cm³
Das Rohr, der Tank, die Dose.
Beispielr = 5 cmh = 20 cmV = 1570,8 cm³
1 cm³ ist 1 ml, 1 dm³ ist 1 Liter.
Spitz zulaufend — deshalb nur ein Drittel.
BeispielG = 36 cm²h = 10 cmV = 120 cm³
Die spitze Tüte — Volumen, Mantel und Seitenlinie.
Beispielr = 3 cmh = 8 cmV = 75,4 cm³
Die Seitenlinie s ist nicht die Höhe. Sie kommt über den Pythagoras aus r und h.
Volumen und Oberfläche der Kugel.
Beispielr = 6 cmV = 904,78 cm³
Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert — die drei, zwischen denen man ständig umstellt.
BeispielG = 250 €p = 19 %W = 47,5 €
Der Grundwert ist immer das Ganze — das, was 100 % entspricht.
Um wie viel Prozent etwas gestiegen oder gefallen ist.
Beispielalt = 80 €neu = 100 €p = 25 %
Verglichen wird immer mit dem alten Wert. Erst plus 25 % und dann minus 25 % ergibt nicht wieder den Ausgangswert.
Was Geld in einem Jahr kostet oder bringt.
BeispielK = 2000 €p = 3,5 %Z = 70 €
Wenn das Geld nicht das ganze Jahr liegt.
BeispielK = 2000 €p = 3,5 %t = 90Z = 17,5 €
Im Bankjahr hat jeder Monat 30 Tage und das Jahr 360.
Wenn die Zinsen liegen bleiben und selbst wieder Zinsen bringen.
BeispielK₀ = 2000 €p = 3,5 %n = 10Kn = 2821,2 €
Von einem Wert auf einen anderen schließen — bei gleichem Verhältnis.
Beispiela = 3b = 7,5c = 8x = 20
Zuerst auf eins herunterrechnen, dann auf die gesuchte Menge hoch.
Eine Klammer im Quadrat ausmultiplizieren — ohne jedes Mal neu auszurechnen.
Der mittlere Teil wird am häufigsten vergessen: 2 · a · b.
Dasselbe mit einem Minus in der Klammer.
Plus mal Minus — der Mittelteil fällt weg.
Von rechts nach links gelesen ist das ein Faktorisierungs-Trick: 25 − x² wird zu (5 + x)(5 − x).
Quadratische Gleichungen der Form x² + p·x + q = 0.
Beispielp = -6q = 8x₁ = 4
Vorher muss vor dem x² eine 1 stehen. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, gibt es keine Lösung.
Quadratische Gleichungen der Form a·x² + b·x + c = 0 — ohne vorher zu teilen.
Beispiela = 2b = -8c = 6x₁ = 3
b² − 4·a·c heißt Diskriminante. Ist sie null, gibt es genau eine Lösung.
Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen.
Mal heißt plus in der Hochzahl, geteilt heißt minus. Nur bei gleicher Basis.
Wurzeln lassen sich als Potenz schreiben — dann gelten dieselben Regeln.
Die Umkehrung des Potenzierens: Welche Hochzahl war es?
Beispiela = 1000b = 10x = 3
Auf dem Taschenrechner: log für Basis 10, ln für Basis e. Andere Basen über diesen Bruch.
Die Gerade — Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse.
Beispielm = 2x = 3b = 1y = 7
b ist der Wert bei x = 0 — dort schneidet die Gerade die y-Achse.
Wenn nur zwei Punkte gegeben sind.
Beispielx₁ = 1y₁ = 3x₂ = 5y₂ = 11m = 2
Höhenunterschied geteilt durch Längenunterschied — y oben, x unten.
Wo die Gerade die x-Achse schneidet.
Beispielm = 2b = -6x = 3
An der Parabel sofort ablesen, wo der Scheitel liegt.
Beispiela = 1x = 5d = 3e = -2y = 2
Der Scheitel liegt bei (d | e). Achtung beim Vorzeichen: In (x − 3)² ist d = 3.
Alles, was sich in gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor ändert.
BeispielN₀ = 100q = 1,05t = 10N = 162,89
Plus 5 % im Jahr heißt q = 1,05. Minus 5 % heißt q = 0,95.
Wenn sich etwas in gleichen Zeitspannen halbiert.
BeispielN₀ = 100t = 15T = 5N = 12,5
Im rechtwinkligen Dreieck aus zwei Seiten die dritte berechnen.
Beispiela = 3 cmb = 4 cmc = 5 cm
c ist immer die längste Seite — die, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck verbinden.
Beispielc = 10 cmα = 30 °a = 5 cm
Merksatz: GAGA HHAG — Gegenkathete durch Hypotenuse ist der Sinus, Ankathete durch Hypotenuse der Kosinus, Gegenkathete durch Ankathete der Tangens.
Der dritte Winkel ergibt sich immer aus den anderen beiden.
Beispielα = 50 °β = 70 °γ = 60 °
Aus ähnlichen Dreiecken auf eine unbekannte Länge schließen.
Beispielb = 4 cmc = 9 cmd = 6 cma = 6 cm
So misst man einen Baum: eigene Größe zu eigenem Schatten wie Baumhöhe zu Baumschatten.
Auch in Dreiecken ohne rechten Winkel.
Beispielb = 8 cmα = 40 °β = 60 °a = 5,938 cm
Jede Seite verhält sich zum Sinus ihres Gegenwinkels wie jede andere.
Zwei Seiten und der Winkel dazwischen sind bekannt.
Beispielb = 5 cmc = 7 cmα = 60 °a = 6,245 cm
Bei 90° fällt der letzte Teil weg — dann ist es wieder der Pythagoras.
Der Durchschnitt — Summe durch Anzahl.
Beispielsumme = 84n = 4x̄ = 21
Der Mittelwert wird von Ausreißern stark verzogen. Der Median nicht — der ist der mittlere Wert der geordneten Liste.
Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Beispielguenstig = 3moeglich = 6P = 0,5
Mal 100 ergibt Prozent. P liegt immer zwischen 0 und 1.
„Mindestens eins“ rechnet man fast immer über das Gegenteil.
BeispielP = 0,25P̄ = 0,75
Mehrstufige Zufallsversuche im Baumdiagramm.
Beispielp₁ = 0,5p₂ = 0,25PPfad = 0,125
Entlang eines Pfades wird multipliziert, zwischen mehreren Pfaden wird addiert.
Zwischen zwei Nachbarn steht immer derselbe Faktor. Wer den kennt, muss nichts auswendig lernen.
| Was | Reihe | Schritt |
|---|---|---|
| Länge | km — m — dm — cm — mm | · 10 je Schritt (km → m: · 1000) |
| Fläche | km² — ha — a — m² — dm² — cm² — mm² | · 100 je Schritt |
| Volumen | m³ — dm³ — cm³ — mm³ | · 1000 je Schritt |
| Hohlmaß | 1 dm³ = 1 l, 1 cm³ = 1 ml | 1 l = 1000 ml |
| Masse | t — kg — g — mg | · 1000 je Schritt |
| Zeit | 1 h = 60 min, 1 min = 60 s | 1 h = 3600 s |
Nach rechts in der Reihe wird multipliziert, nach links geteilt.
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